Question

已知3，5，21是各項均為整數(shù)的無窮等差數(shù)列{a_n}的三項，若數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，給出關(guān)于數(shù)列{a_n}的4個命題：1滿足條件的d有8個不同的取值；2存在滿足條件的數(shù)列{a_n}，使得對任意的n∈N^*，都有S_2n=4S_n成立；3對任意滿足條件的d，存在a₁，使得99一定是數(shù)列{a_n}中的一項；4對任意滿足條件的d，存在a₁，使得30一定是數(shù)列{a_n}中的一項；則其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：由題意得，公差d可能為1，2，-1，-2，共4個不同的值，故1不正確．根據(jù)4個不同公差，分別求出S_2n和
S_n的值，經(jīng)檢驗2不正確．根據(jù)4個不同公差，分別求出首項a₁，經(jīng)檢驗3、4正確．

解答：解：∵3，5，21是各項均為整數(shù)的無窮等差數(shù)列{a_n}的三項，
∴公差d 可能為1，2，-1，-2，共4個不同的值，故1不正確．
當(dāng)d=1時，s_n=na₁+

n(n-1)

2

，s_2n=2na₁+

2n(2n-1)

2

，S_2n=4S_n 不成立，
同理，當(dāng)d=-1時，S_2n=4S_n不成立．
當(dāng)d=2時，s_n=na₁+n（n-1），s_2n=2na₁+2n（2n-1），S_2n=4S_n 不成立，
同理，當(dāng) 當(dāng)d=-2時，S_2n=4S_n 不成立，故 2不正確．
當(dāng)d=1時，通項公式為 a_n=a₁+（n-1），令99=a₁+（n-1），a₁=100-n．
同理當(dāng)d=-1時，通項公式為 a_n=a₁-（n-1），令99=a₁-（n-1），a₁=98+n．
當(dāng)d=2時，通項公式為  為 a_n=a₁+2（n-1），令99=a₁+2（n-1），a₁=101-2n．
當(dāng)d=-2時，通項公式為  為 a_n=a₁-2（n-1），令99=a₁-2（n-1），a₁=97+2n，故3正確．
當(dāng)d=1時，通項公式為 a_n=a₁+（n-1），令30=a₁+（n-1），a₁=31-n．
同理當(dāng)d=-1時，通項公式為 a_n=a₁-（n-1），令30=a₁-（n-1），a₁=29+n．
當(dāng)d=2時，通項公式為  為 a_n=a₁+2（n-1），令30=a₁+2（n-1），a₁=32-2n．
當(dāng)d=-2時，通項公式為  為 a_n=a₁-2（n-1），令30=a₁-2（n-1），a₁=28+2n，故4正確．
故答案為 3、4．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出首項是解題的關(guān)鍵，
屬于中檔題．