某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本為C(x),當年產(chǎn)量不足80千件時,C(x)=
1
3
x2+10x
(萬元);當年產(chǎn)量不小于80千件時,C(x)=51x+
10000
x
-1450
(萬元).現(xiàn)已知此商品每件售價為500元,且該廠年內(nèi)生產(chǎn)此商品能全部銷售完.
(1)寫出年利潤L(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
分析:(1)根據(jù)年利潤=銷售額-投入的總成本-固定成本分0<x<80和當x≥80兩種情況得到L與x的分段函數(shù)關系式;
(2)當0<x<80時根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法來求L的最大值,當x≥80時,利用基本不等式來求L的最大值.
解答:解:(1)當0<x<80,x∈N*時,
L(x)=
500×1000x
10000
-
1
3
x2-10x-250=-
1
3
x2+40x-250

當x≥80,x∈N*時,L(x)=
500×1000x
10000
-51x-
10000
x
+1450-250=1200-(x+
10000
x

L(x)=
-
1
3
x2+40x-250,(0<x<80,x∈N*)
1200-(x+
10000
x
),(x≥80,x∈N*)

(2)當0<x<80,x∈N*時,L(x)=-
1
3
(x-60)2+950
,
當x=60時,L(x)取得最大值L(60)=950
當x≥80,x∈N,∵L(x)=1200-(x+
10000
x
)≤1200-2
x•
10000
x
=1200-200=1000
,
∴當x=
10000
x
,即x=100時,L(x)取得最大值L(100)=1000>950.
綜上所述,當x=100時L(x)取得最大值1000,即年產(chǎn)量為100千件時,
該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大.
點評:考查學生根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)類型的能力,以及運用基本不等式求最值的能力.
練習冊系列答案
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(1)寫出年利潤(萬元)關于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;

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   (1)寫出年利潤(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;

   (2)年產(chǎn)量為多少千件時,該廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大,最大利潤是多少?

 

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