Question

某校迎接校慶中有一項工作是請20位工人制作100只燈籠和20塊展板．已知一名工人在單位時間內可制作10只燈籠或3塊展板．現將20名工人分成兩組，一組制作燈籠，一組制作展板，同時開工．設制作燈籠的工人有x名（1≤x≤19）．
（Ⅰ）用x分別表示制作100只燈籠和20塊展板所用的單位時間；
（Ⅱ）求當x為何值時，完成此項工作時間最短．

Answer 1

分析：（I）由已知中制作燈籠的工人有x名，我們可得制作展板的工人有20-x名，又由已知中一名工人在單位時間內可制作10只燈籠或3塊展板．共需要制作100只燈籠和20塊展板，進而可以得到制作100只燈籠和20塊展板所用的時間；
（Ⅱ）令y=

10

x

-

20

3×(20-x)

當|y|值最小時，表示工人分別完成兩項工作的時間最接近，此時完成此項工作時間最短．

解答：解：（Ⅰ）由題中一名工人在單位時間內可制作10只燈籠或3塊展板，制作燈籠的工人有x名，則制作展板的工人有20-x名，
則制作100只燈籠的時間為

100

10x

=

10

x

 （1≤x≤19）．
制作20塊展板所用的時間為

20

3×(20-x)

（1≤x≤19）．
（Ⅱ）令y=

10

x

-

20

3×(20-x)

當|y|值最小時，表示工人分別完成兩項工作的時間最接近，
此時完成此項工作時間最短
∵x=12時，y=0
即當當x=12時，完成此項工作時間最短

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，函數最小值的意義，其中（I）的關鍵是根據已知，分別確定制作燈籠和展板的工作量，及工作效率，（II）的關鍵是正確理解完成此項工作時間最短含義．