Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx．
（I）證明函數(shù)g(x)=f(x)-

2(x-1)

x+1

在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（II）若不等式1-x²≤f（e^1-2x）+m²-2bm-2，當(dāng)b∈[-1，1]{

1

Sn-S1

}(n∈N*，n≥3)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出當(dāng)x＞1時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于0得到g（x）在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（II）將原不等式變形為m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]時(shí)恒成立，求出1-（x-1）²的最大值為1，令m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]時(shí)恒成立，將此不等式看成關(guān)于b的一次不等式，令其兩個(gè)端點(diǎn)大于等于0即可．

解答：解：（I）∵g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，
∴g（x）在x∈（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（II）∵f（e^1-2x）=lne^1-2x=1-2x，
∴原不等式即為m²-2bm-2≥1-（x-1）²在b∈[-1，1]時(shí)恒成立．
∵1-（x-1）²的最大值為1，
∴m²-2bm-3≥0在b∈[-1，1]時(shí)恒成立．
令Q（b）=m²-2bm-3，則Q（-1）≥0，且Q（1）≥0．
由Q（-1）≥0，m²+2m-3≥0，解得m≥1或m≤-3．
由Q（1）≥0，m²-2m-3≥0，解得m≥3或m≤-1．
∴綜上得，m≥3或m≤-3．

點(diǎn)評(píng)：解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍問(wèn)題，應(yīng)該分離出參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值進(jìn)行解決．