Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，-3），N（5，1），若動(dòng)點(diǎn)C滿足=t且點(diǎn)C的軌跡與拋物線y²=4x交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：⊥；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m，0）（m≠0），使得過點(diǎn)P的直線l交拋物線y²=4x于D，E兩點(diǎn)，并以線段DE為直徑的圓都過原點(diǎn)．若存在，請求出m的值及圓心M的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由動(dòng)點(diǎn)C滿足=t，知點(diǎn)C的軌跡是M、N兩點(diǎn)所在的直線，
又因?yàn)橹本�MN的方程為x-y-4=0
∴點(diǎn)C的軌跡方程為x-y-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由 得：
x²-12x+16=0
∴x₁•x₂=16，x₁+x₂=12
又y₁•y₂=（x₁-4）•（x₂-4）=-16
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴⊥；
（2）假設(shè)存在P（m，0）（m≠0），使得過點(diǎn)P的直線l交拋物線y²=4x 于D，E兩點(diǎn)，并以線段DE為直徑的圓都過原點(diǎn)，
由題意知：弦所在的直線的斜率不為零．故設(shè)弦所在的直線方程為：x=ky+m，
代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
若以弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)，則OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即 =m²-4m，解得m=0 （不合題意，舍去）或 m=4．
∴存在點(diǎn)P（4，0），使得過P點(diǎn)任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn)．
設(shè)弦D，E的中點(diǎn)為M（x，y）
則x=（x₁+x₂），y=（ y₁+y₂）=2k，
x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，
∴x=2k²+4，y=2k，
∴消去k得弦D，E的中點(diǎn)M的軌跡方程為：y²=2x-8．
∴圓心的軌跡方程為y²=2x-8．
分析：（1）欲證兩向量垂直，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，就是證明它們的數(shù)量積為0，將直線與拋物線的方程組成方程組，利用設(shè)而不求的方法求解；
（2）對于存在性問題，可設(shè)假設(shè)存在，本題中將垂直關(guān)系合理轉(zhuǎn)化，找出m的一個(gè)相等關(guān)系，從而解出了m的值，即說明存在．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題及存在性問題．對于存在判斷型問題，解題的策略一般為先假設(shè)存在，然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在；若出現(xiàn)矛盾，則否定存在．這是一種最常用也是最基本的方法，解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解．