Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，連接AC₁交平面A₁BD于H，則下列命題中，錯誤的命題是（　�。�

• A．AH與DD₁所成的角為arctan

  2

• B．AC₁⊥平面A₁BD
• C．OH=

  3

  3

  a
• D．H是△A₁BD的垂心

Answer 1

分析：A 因?yàn)?DD₁∥AA₁，所以將AH與DD₁所成的角轉(zhuǎn)化成AH與AA1所成的角∠A₁AC解決．
B由三垂線定理，可證AC₁⊥面A₁BD
D因?yàn)锳B，AD，AA1兩兩垂直，且AC₁⊥面A₁BD，所以H是△A₁BD的垂心
C在直角三角形CAC₁中求解．

解答：解：連接 A₁C₁，知tan∠A₁AC=

2

，即AH與DD₁所成的角為arctan

2

，A對
由三垂線定理，AC1在面ABCD上的射影為AC，BD⊥AC，∴BD⊥AC₁  同理可證BA₁⊥AC₁∴AC₁⊥面A₁BD，B對
因?yàn)锳B，AD，AA1兩兩垂直，且AC₁⊥面A₁BD，所以H是△A₁BD的垂心  D對
由AC₁⊥面A₁BD知AH⊥HO，
HO=AO×sin∠CAC₁=

2a

2

×

a

3 a

=

6 a

6

，C錯
故選C

點(diǎn)評：本題考查正方體的基本性質(zhì)，線面位置關(guān)系、距離求解，考查空間想象能力、論證能力、計(jì)算能力．