如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)焦點(diǎn)且不平行于軸的動(dòng)直線交拋物線于,兩點(diǎn),拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求證:,,三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)直線交該拋物線于,兩點(diǎn),求四邊形面積的最小值.
(Ⅰ)可設(shè)直線的方程(),,,由消去,得,. ,,由,得,所以,直線的斜率為直線的方程為 同理,直線的方程為 M的橫坐標(biāo)即,,三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列(Ⅱ)32
解析試題分析:(Ⅰ)由已知,得,顯然直線的斜率存在且不為0,則可設(shè)直線的方程
(),,,
由消去,得,
. , 2分
由,得,所以,直線的斜率為,
所以,直線的方程為,又,
所以,直線的方程為 ① 4分
同理,直線的方程為 ② 5分
②-①并據(jù)得點(diǎn)M的橫坐標(biāo),
即,,三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列 7分
(Ⅱ)由①②易得y=-1,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,-1)().
所以,則直線MF的方程為 8分
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4), 由消去,得,
,. 9分
又
10分
12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f9/8/1d2ku2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
所以,,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),四邊形面積的取到最小值 14分
考點(diǎn):拋物線方程及直線與拋物線的相交的位置關(guān)系弦長(zhǎng)等
點(diǎn)評(píng):當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí),常聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程,進(jìn)而利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求的方法化簡(jiǎn),在求解時(shí)弦長(zhǎng)公式經(jīng)常用到,本題中函數(shù)在某一點(diǎn)的切線問(wèn)題要借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C:的離心率為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為1的直線l與橢圓C相交于,兩點(diǎn),連接MA,MB并延長(zhǎng)交直線x=4于P,Q兩點(diǎn),設(shè)yP,yQ分別為點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo),且.求△ABM的面積.
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設(shè)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn)。
(Ⅰ)若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo)。
(Ⅱ)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍。
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已知橢圓的離心率為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為,直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)。
(1)求橢圓的方程;
(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,求面積的最大值。
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已知M (-3,0)﹑N (3,0),P為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn),且直線PM與直線PN的斜率之積為常數(shù)m (m,m0),點(diǎn)P的軌跡加上M、N兩點(diǎn)構(gòu)成曲線C.
求曲線C的方程并討論曲線C的形狀;
(2) 若,曲線C過(guò)點(diǎn)Q (2,0) 斜率為的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A﹑B,AB中點(diǎn)為R,直線OR (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為,求證 為定值;
(3) 在(2)的條件下,設(shè),且,求在y軸上的截距的變化范圍.
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若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的離心率為:2.(1)過(guò)點(diǎn)C(-1,0)且以向量為方向向量的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)A、B,若,則當(dāng)△OAB的面積最大時(shí),求橢圓的方程。
(2)設(shè)M,N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),,過(guò)原點(diǎn)O作直線MN的垂線OD,垂足為D,求點(diǎn)D的軌跡方程.
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設(shè)雙曲線與橢圓+=1有公共的焦點(diǎn),且與橢圓相交,它們的交點(diǎn)中一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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己知橢圓的離心率為,是橢圓的左右頂點(diǎn),是橢圓的上下頂點(diǎn),四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)圓過(guò)兩點(diǎn).當(dāng)圓心與原點(diǎn)的距離最小時(shí),求圓的方程.
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