拋物線的方程為,過拋物線上一點(diǎn)()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)(三點(diǎn)互不相同),且滿足(且).
(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)直線上一點(diǎn),滿足,證明線段的中點(diǎn)在軸上;
(3)當(dāng)=1時(shí),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求為鈍角時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.
(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為;(2)證明詳見解析;(3).
解析試題分析:(1)數(shù)形結(jié)合,依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)設(shè)直線的方程為,直線的方程為,分別聯(lián)立直線與拋物線的方程消去得到關(guān)于的一元二次方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到、,再由求出點(diǎn)的橫坐標(biāo),即可證明;(3)為鈍角時(shí),必有,用表示,通過的范圍求的范圍即可.
試題解析:(1)由拋物線的方程()得,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為
(2)證明:設(shè)直線的方程為,直線的方程為
點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組
的解將②式代入①式得,于是,故、
又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組
的解將⑤式代入④式得于是,故
由已知得,,則 、
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由,則
將③式和⑥式代入上式得,即所以線段的中點(diǎn)在軸上
(3)因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以,拋物線方程為
由③式知,代入得
將代入⑥式得,代入得
因此,直線分別與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓(>>0)的離心率,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),已知點(diǎn)的坐標(biāo)為( ,0),點(diǎn)(0,)在線段的垂直平分線上,且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,),且長軸長與短軸長的比是∶1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C上在第一象限的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA,PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A,B,求證:直線AB的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0).
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程;
(2)以原點(diǎn)O為圓心,c為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A,過A作圓的切線,斜率為-,求雙曲線的離心率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心為原點(diǎn),離心率,其一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,若拋物線與直線相切.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為.若點(diǎn)滿足:,其中是上的點(diǎn),直線與的斜率之積為,試說明:是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄如下:、、、.
(1)經(jīng)判斷點(diǎn),在拋物線上,試求出的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)并求出橢圓的離心率;
(3)過的焦點(diǎn)直線與橢圓交不同兩點(diǎn)且滿足,試求出直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C與直線l1:y=-x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)不過原點(diǎn)的直線l2與l1垂直,且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(13分)已知圓O:x2+y2=3的半徑等于橢圓E:=1(a>b>0)的短半軸長,橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓O內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為-,點(diǎn)M是直線l與圓O的公共點(diǎn),設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求橢圓E的方程;
(2)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù),直線與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸,動(dòng)直線垂直于點(diǎn),線段垂直平分線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程;
(3)設(shè)第(2)問中的與軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)在上,且滿足,求的取值范圍.
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