Question

在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為O，已知曲線C₁：ρ=2與曲線C₂：ρsin(θ-

π

4

)=

2

，交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求|AB|的值；
（2）求過點(diǎn)C（1，0）且與直線AB平行的直線l的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₁和曲線C₂ 的方程化為直角坐標(biāo)方程，他們分別表示一個(gè)圓和一條直線．利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離為d的值，再利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|的值．
（2）用待定系數(shù)法求得直線l的方程為直線l的方程，再根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式求得l的極坐標(biāo)方程

解答：解：（1）曲線C₁：ρ=2，即x²+y²=4，表示以原點(diǎn)O（0，0）為圓心，半徑等于2的圓．
曲線C₂：ρsin(θ-

π

4

)=

2

，即 x-y+2=0，表示一條直線．
圓心到直線的距離為d=

|0-0+2|

2

=

2

，故弦長(zhǎng)|AB|=2

r2-d2

=2

2

．
（2）設(shè)過點(diǎn)C（1，0）且與直線AB平行的直線l的方程為 x-y+m=0，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得m=-1，
故直線l的方程為 x-y-1=0，即 ρcosθ-ρsinθ-1=0，即

2

ρsin（θ-

π

4

）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線和圓相交的性質(zhì)，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．