Question

下列敘述
①對于函數(shù)f（x）=-x²+1，當x₁≠x₂時，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）；
②設(shè)f（x）=

1+x2

1-x2

則f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2012

）=0；
③定義域是R的函數(shù)y=f（x）在[a，b）上遞增，且在[b，c]上也遞增，則f（x）在[a，c]上遞增；
④設(shè)滿足3^x=5^y的點P為（x，y），則點P（x，y）滿足xy≥0．
其中正確的所有番號是：

①②④

．

Answer 1

分析：①作出函數(shù)的圖象，利用凸函數(shù)的定義進行判斷．②證明f（x）+f（

1

x

）=0即可．③根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，舉出反例即可．④根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．

解答：解：①不妨設(shè)x₁＜x₂時，作出對應(yīng)的函數(shù)圖象（圖1），由圖象可知，

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

），（滿足

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

的函數(shù)成為凸函數(shù)），∴①正確．
②∵f（x）=

1+x2

1-x2

，∴f（x）+f（

1

x

）=

1+x2

1-x2

+

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

1+x2

1-x2

+

1+x2

x2-1

=

1+x2

1-x2

-

1+x2

1-x2

=0，
∴f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2012

）=0，∴②正確．
③函數(shù)f（x）=

x+1，0≤x＜1 x，1≤x≤2

，滿足在[0，1），和[1，2]上分別單調(diào)遞增，但f（x）在[0，2]上不是單調(diào)函數(shù)（圖2），
∴③錯誤．
④若x=0，則3^x=5^y=1，∴此時y=0，∴xy=0，滿足xy≥0，
若x＞0，則3^x=5^y＞1，∴此時y＞0，∴xy＞0，滿足xy≥0，
若x＜0，則3^x=5^y＜1，∴此時y＜0，∴xy＞0，滿足xy≥0，
綜上恒有xy≥0，成立，∴④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題中經(jīng)常用的方法，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．