Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）設(shè)，，直線的斜率為k，若恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí),可得在上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn), 當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)可以求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值為,由，解得.然后根據(jù), 得到在上有1個(gè)零點(diǎn)；根據(jù),,得到在上有1個(gè)零點(diǎn),可得的取值范圍.

(2)利用斜率公式將恒成立,轉(zhuǎn)化為,即在上是增函數(shù),再求導(dǎo)后,分離變量變成,最后用基本不等式求得最小值,代入即得.

（1），，

①當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，．

∴在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，，解得，此時(shí)，且，∴在上有1個(gè)零點(diǎn)；

，

令，則，∴在上單調(diào)遞增，

∴，即，∴在上有1個(gè)零點(diǎn)．

∴a的取值范圍是．

（2）由題意得，

∴，

∴在上是增函數(shù)，

∴在上恒成立，∴，

∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號(hào)，∴．

∴a的取值范圍是．