Question

已知函數f(x)＝，g(x)＝．

(1)計算f(4)－5f(2)g(2)；

(2)計算f(9)－5f(3)g(3)；

(3)計算f(16)－5f(4)g(4)；

(4)由(1)(2)(3)概括出涉及函數f(x)和g(x)的對于所有不等于0的實數x都成立的一個等式，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(4)－5f(2)g(2)＝＝0． 　　(2)f(9)－5f(3)g(3)＝＝0． 　　(3)f(16)－5f(4)g(4)＝＝0 　　(4)由于4＝2×2，9＝3×3，16＝4×4，因此概括、猜想：對任意x≠0，均有f(x2)＝5f(x)g(x)． 　　證明：∵5f(x)g(x)＝5·＝f(x2)， 　　∴對任意x≠0，均有f(x2)＝5f(x)g(x)．

提示：

思路分析：本題主要考查指數冪的運算和探究能力．依據實數指數冪的運算性質可以發(fā)現(1)(2)(3)中各式值互為相反數，故概括的結論也是一個等式． 　　綠色通道：本題探究涉及函數f(x)和g(x)的對于所有不等于0的實數x都成立的等式時，采用了歸納、猜想、證明的方法，這是我們發(fā)現結論、認識世界的主要手段．其中指數冪的運算是關鍵．