Question

已知圓的半徑為定長(zhǎng)，是圓所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡可能是下列圖形中的：               ．（填寫所有可能圖形的序號(hào)）
①點(diǎn)；②直線；③圓；④拋物線；⑤橢圓；⑥雙曲線；⑦雙曲線的一支．

Answer 1

①③⑤⑦

分析：由題意可得，點(diǎn)A可能在圓的外部，可能在圓的內(nèi)部（但不和點(diǎn)O重合）、可能和點(diǎn)O重合、也可能在圓上，在這四種情況下，分別求出點(diǎn)Q的軌跡方程，即可得到答案．
解：（1）當(dāng)點(diǎn)A為⊙O外一定點(diǎn)，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，
線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，
則QA=QP，則QA-Q0=QP-QO=OP=r．
即動(dòng)點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)A、O的距離差為定值r＜OA，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)Q的軌跡是：以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的一支．
故⑦滿足條件．
（2）當(dāng)A為⊙O內(nèi)一定點(diǎn)，且A不與點(diǎn)O重合，∵P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，
線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，則QA=QP，
QA=QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r＞OA，故Q的軌跡是：以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長(zhǎng)軸的橢圓，菁優(yōu)網(wǎng)
故⑤滿足條件．
（3）當(dāng)點(diǎn)A和原點(diǎn)O重合時(shí)，線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，則QA=QP，
點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)，故有OQ="1" 2 OP="r" 2 ，
故Q的軌跡是：以O(shè)為圓心，以r 2 為半徑的圓，故③滿足條件．
（4）當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，則Q和點(diǎn)O重合，
故Q的軌跡是點(diǎn)O，為一個(gè)點(diǎn)，故①滿足條件．
故答案為①③⑤⑦．