Question

在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，F(xiàn)₁、F₂分別是其左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得|PF₁|-2|PF₂|=a，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

• A、（

  2

  3

  ，1）
• B、（0，

  2

  3

  ]
• C、[

  1

  3

  ，1）
• D、[

  2

  3

  ，1）

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓的定義可得 e（x+

a2

c

）-2•e（

a2

c

-x）=a，解得e=

2a

3x

，由題意可得-a≤x≤a，解不等式求得離心率e的取值范圍．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，∵|PF₁|=2|PF₂|，則由橢圓的定義可得 e（x+

a2

c

）-2•e（

a2

c

-x）=a，
即3ex=2a，
∴e=

2a

3x

，
又∵-a≤x≤a，
∴e≤-

2

3

，或e≥

2

3

，
又∵e∈（0，1），
則該橢圓的離心率e的取值范圍是[

2

3

，1），
故選：D

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，由橢圓的定義可得 e（x+

a2

c

）-2•e（

a2

c

-x）=a，是解題的關(guān)鍵．