如圖,已知AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
求證:
(1)|AB|=x1+x2+p;
(2)y1 y2=-p2,x1 x2=
p2
4

(3)(理科)直線的傾斜角為θ時(shí),求弦長(zhǎng)|AB|.
(3)(文科)當(dāng)p=2,直線AB的傾斜角為
π
4
時(shí),求弦長(zhǎng)|AB|.
分析:(1)利用拋物線的定義,即可證明;
(2)設(shè)直線AB的方程為x=my+
p
2
,代入y2=2px,再利用韋達(dá)定理,即可得到結(jié)論;
(3)(理科)根據(jù)(1)的結(jié)論,表示出x1+x2即可;
(3)(文科)根據(jù)(3)(理科)的結(jié)論,即可求解.
解答:(1)證明:∵AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦,
∴由拋物線定義可得|AB|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p;
(2)證明:設(shè)直線AB的方程為x=my+
p
2
,代入y2=2px,可得y2-2pmy-p2=0
∴y1y2=-p2,∴x1x2=
p2
4
;
(3)(理科)解:由(2)知,y1y2=-p2,y1+y2=2pm,∴
y
2
1
+
y
2
2
=(y1+y22-2y1y2=4p2m2+2p2,
y
2
1
+
y
2
2
=2p(x1+x2)=4p2m2+2p2,∴x1+x2=2pm2+p,
∴θ=90°時(shí),m=0,∴|AB|=2p;θ≠90°時(shí),m=
1
tanθ
,|AB|=
2p
tan2θ
+2p;
(4)(文科)由(3)(理科)知,|AB|=
2p
tan2θ
+2p=8.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查弦長(zhǎng)的計(jì)算,屬于中檔題.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,過OA的中點(diǎn)G作弦CE⊥AB于G,點(diǎn)D為優(yōu)弧CBE上(除點(diǎn)B外)一動(dòng)點(diǎn),過D分別作直線CD,ED交直線AB于點(diǎn)F,M.
(I)求∠FDM的值.
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4
4

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如圖,已知AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦,F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
求證:
(1)|AB|=x1+x2+p;
(2)y1 y2=-p2,x1 x2=數(shù)學(xué)公式;
(3)(理科)直線的傾斜角為θ時(shí),求弦長(zhǎng)|AB|.
(3)(文科)當(dāng)p=2,直線AB的傾斜角為數(shù)學(xué)公式時(shí),求弦長(zhǎng)|AB|.

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