已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b、c∈R),不論α、β為何實(shí)數(shù),恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.
(1)求證:b+c=-1;
(2)求證:c≥3;
(3)若函數(shù)f(sinα)的最大值為8,求b、c的值.
分析:本題考查的是不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題.在解答時(shí):
(1)充分利用條件不論α、β為何實(shí)數(shù),恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.注意分析sinα、2+cosβ的范圍,利用夾逼的辦法即可獲得問(wèn)題的解答;
(2)首先利用(1)的結(jié)論對(duì)問(wèn)題進(jìn)行化簡(jiǎn)化為只有參數(shù)c的函數(shù),再結(jié)合條件不論β為何實(shí)數(shù),恒有f(2+cosβ)≤0,即可獲得問(wèn)題的解答;
(3)首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)配方,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量和對(duì)稱(chēng)軸的范圍即可獲得問(wèn)題的解答.
解答:解:(1)證明:∵|sinα|≤1且f(sinα)≥0恒成立,可得f(1)≥0.
又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立,可得f(1)≤0,
∴f(1)=0,
∴1+b+c=0,∴b+c=-1.
(2)證明:∵b+c=-1,∴b=-1-c,
∴f(x)=x2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).
又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立
∴x-c≤0,即c≥x恒成立.
∴c≥3.
(3)∵f(sinα)=sin2α-(1+c)sinα+c=(sinα-
1+c
2
2+c-(
1+c
2
2
1+c
2
≥2

∴當(dāng)sinα=-1時(shí),f(sinα)的最大值為1-b+c.
由1-b+c=8與b+c=-1聯(lián)立,
可得b=-4,c=3.
即b=-4,c=3.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是不等式的綜合類(lèi)問(wèn)題,在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了夾逼的技巧、恒成立的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想.值得同學(xué)們體會(huì)與反思.
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿(mǎn)足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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