Question

已知從“神六”飛船帶回的某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為,某植物研究所進(jìn)行該種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn),每次實(shí)驗(yàn)種一粒種子,每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立.假定某次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次實(shí)驗(yàn)是成功的,如果種子沒有發(fā)芽,則稱該次實(shí)驗(yàn)是失敗的.若該研究所共進(jìn)行四次實(shí)驗(yàn),設(shè)ξ表示四次實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)與失敗的次數(shù)之差的絕對(duì)值.

(1)求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ;

(2)記“關(guān)于x的不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)集R”為事件A,求事件A發(fā)生的概率P(A).

Answer 1

解:(1)由題意知:ξ的可能取值為0,2,4.

∵“ξ=0”指的是實(shí)驗(yàn)成功2次,失敗2次,

∴P(ξ=0)=()²(1)²=;

“ξ=2”指的是實(shí)驗(yàn)成功3次,失敗1次或?qū)嶒?yàn)成功1次,失敗3次.

∴P(ξ=2)=()³(1)+()(1)³=.

“ξ=4”指的是實(shí)驗(yàn)成功4次,失敗0次或?qū)嶒?yàn)成功0次,失敗4次.

∴P(ξ=4)=()⁴+(1)⁴=.

∴Eξ=0×+2×+4×=.

故隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為.

(2)由題意知:“不等式ξx²-ξx+1＞0的解集是實(shí)數(shù)R”為事件A.

當(dāng)ξ=0時(shí),不等式化為1＞0,其解集是R,說明事件A發(fā)生;

當(dāng)ξ=2時(shí),不等式化為2x²-2x+1＞0,

∵Δ=-4＜0,∴解集是R,說明事件A發(fā)生;

當(dāng)ξ=4時(shí),不等式化為4x²-4x+1＞0(2x-1)²＞0,其解集為{x|x∈R,x≠},說明事件A不發(fā)生.

∴P(A)=P(ξ=0)+P(ξ=2)=.