Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣2ax+2b
（1）若a，b都是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任意取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）有零點(diǎn)的概率；
（2）若a，b都是從區(qū)間[0，3]中任取的一個(gè)數(shù)，求f（1）＜0成立時(shí)的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，

試驗(yàn)發(fā)生包含的事件a，b都從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)的

基本事件總數(shù)為N=4×4=16個(gè)，

函數(shù)有零點(diǎn)的條件為△，4a2﹣8b≥0，即a2≥2

∵事件“a2≥2b”包含：（0，0），（2，0）

（2，1），（2，2）（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共有7個(gè)

∴事件“a2≥2b”的概率為p=

（2）解：f（1）=1﹣2a+2b＜0，∴a﹣b＞

則a，b都是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，有f（1）＜0，

即滿足條件：

轉(zhuǎn)化為幾何概率如圖所示，陰影部分面積為

∴事件“f（1）＜0”的概率為p= ．

【解析】（1）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件a，b都從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)的基本事件總數(shù)為5×5個(gè)，函數(shù)有零點(diǎn)的條件為△=a2﹣4b≥0，即a2≥4b，列舉出所有事件的結(jié)果數(shù)，得到概率．（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件可以寫出a，b滿足的條件，滿足條件的事件也可以寫出，畫出圖形，做出兩個(gè)事件對(duì)應(yīng)的圖形的面積，得到比值
【考點(diǎn)精析】利用幾何概型和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．