Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)重合，且截拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)所得弦長(zhǎng)為，傾斜角為45°的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F，
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，問(wèn)拋物線(xiàn)y²=4x上是否存在一點(diǎn)M，使得M與F₁關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1，
∴，①
又橢圓截拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x=-1所得弦長(zhǎng)為，
∴得上交點(diǎn)為，
∴，②
由①代入②得（舍去），
從而，
∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為；
（2）∵傾斜角為45°的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F，
∴直線(xiàn)l的方程為，
由（1）知橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，
設(shè)與F₁關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，
則得，
又M（1，-2）滿(mǎn)足y²=4x，
故點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上。
所以?huà)佄锞�(xiàn)y²=4x上存在一點(diǎn)M（1，-2），使得M與F₁關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)。