Question

（2012•泰安二模）如圖：C、D是以AB為直徑的圓上兩點(diǎn)，AB=2AD=2

3

，AC=BC，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且AF=

1

3

AB，將圓沿直徑AB折起，使點(diǎn)C在平面ABD的射影E在BD上．

（I）求證平面ACD⊥平面BCD；
（II）求證：AD∥平面CEF．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到AD⊥BD，結(jié)合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCD，最后根據(jù)面面垂直的判定定理，可得平面ACD⊥平面BCD；
（II）直角三角形BCD中，根據(jù)Rt△CED∽R(shí)t△BCD，得CD²=BD•DE，結(jié)合CD、BD的長(zhǎng)算出DE的長(zhǎng)，從而得到DE：DB=AF：AB，所以AD∥EF，結(jié)合線面平行的判定定理，可得AD∥平面CEF．

解答：解：（I）∵AB是圓的直徑，∴AD⊥BD
∵點(diǎn)C在平面ABD的射影E在BD上，即CE⊥平面ADB
∴結(jié)合AD?平面ADB，得AD⊥CE
∵BD、CE是平面BCD內(nèi)的相交直線
∴AD⊥平面BCD
∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；
（II）Rt△ABD中，AB=2AD=2

3

，可得BD=

AB2-AD2

=3
等腰Rt△ABC中，AB=2

3

，∴AC=BC=

2

2

AB=

6

∵AD⊥平面BCD，CD⊆平面BCD，∴AD⊥CD
Rt△ADC中，CD=

AC2-AD2

=

3

，
∵Rt△BCD中，CE是斜邊BD上的高
∴Rt△CED∽R(shí)t△BCD，得

CD

BD

=

DE

CD

，
因此，CD²=BD•DE，即3=3•DE，得DE=1
∴△ABD中，

DE

DB

=

AF

AB

=

1

3

，可得EF∥AD
∵AD?平面CEF，EF?平面CEF
∴AD∥平面CEF

點(diǎn)評(píng)：本題將圓沿直徑翻折，求證面面垂直和線面平行，著重考查了空間線面平行的判定、線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定等知識(shí)，屬于中檔題．