【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= (x>0),數(shù)列{an}滿足 (n∈N* , 且n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+(﹣1)n1anan+1 , 若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)是否存在以a1為首項(xiàng),公比為q(0<q<5,q∈N*)的數(shù)列{a },k∈N* , 使得數(shù)列{a }中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中不同的項(xiàng),若存在,求出所有滿足條件的數(shù)列{nk}的通項(xiàng)公式;若不存在,說明理由.

【答案】
(1)解:因?yàn)? ,(n∈N*,且n≥2),

所以an﹣an1=

因?yàn)閍1=1,

所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),公差為 的等差數(shù)列.

所以an=


(2)解:①當(dāng)n=2m,m∈N*時(shí),Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++(﹣1)2m1a2ma2m+1=a2(a1﹣a3)+a4(a3﹣a5)++a2m(a2m1﹣a2m+1)=﹣ =﹣ =﹣

②當(dāng)n=2m﹣1,m∈N*時(shí),Tn=T2m1=T2m﹣(﹣1)2m1a2ma2m+1=﹣ =

所以Tn=

要使Tn≥tn2對n∈N*恒成立,

只要使﹣ ,(n為偶數(shù))恒成立.

只要使﹣ ,對n為偶數(shù)恒成立,

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為


(3)解:由an= ,知數(shù)列{an}中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù).

①如存在以a1為首項(xiàng),公比q為2或4的數(shù)列{ank},k∈N*,

此時(shí){ank}中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù),故不存在以a1為首項(xiàng),公比為偶數(shù)的數(shù)列{ank}.

②當(dāng)q=1時(shí),顯然不存在這樣的數(shù)列{ank}.

當(dāng)q=3時(shí),若存在以a1為首項(xiàng),公比為3的數(shù)列{ank},k∈N*

=1,n1=1, = ,nk=

所以滿足條件的數(shù)列{nk}的通項(xiàng)公式為nk=


【解析】(1)由 ,(n∈N* , 且n≥2),知 .再由a1=1,能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)n=2m,m∈N*時(shí),Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++(﹣1)2m1a2ma2m+1=a2(a1﹣a3)+a4(a3﹣a5)++a2m(a2m1﹣a2m+1)= = = .當(dāng)n=2m﹣1,m∈N*時(shí),Tn=T2m1=T2m﹣(﹣1)2m1a2ma2m+1= = .由此入手能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍.(3)由 ,知數(shù)列{an}中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù).如存在以a1為首項(xiàng),公比q為2或4的數(shù)列{ank},k∈N* , 此時(shí){ank}中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù),故不存在以a1為首項(xiàng),公比為偶數(shù)的數(shù)列{ank}.當(dāng)q=1時(shí),顯然不存在這樣的數(shù)列{ank}.當(dāng)q=3時(shí), ,n1=1, .所以滿足條件的數(shù)列{nk}的通項(xiàng)公式為

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A.2
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C.
D.

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為檢驗(yàn)?zāi)撑婢呤欠窈细,制定檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)為:多次拋擲該玩具,并記錄朝上的面上標(biāo)記的數(shù)字,若各數(shù)字出現(xiàn)的頻率的極差不超過0.05.則認(rèn)為該玩具合格.

(1)對某批玩具中隨機(jī)抽取20件進(jìn)行檢驗(yàn),將每個(gè)玩具各面數(shù)字出現(xiàn)頻率的極差繪制成莖葉圖(如圖所示),試估計(jì)這批玩具的合格率;

(2)現(xiàn)有該種類玩具一個(gè),將其拋擲100次,并記錄朝上的一面標(biāo)記的數(shù)字,得到如下數(shù)據(jù):

朝上面的數(shù)字

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

次數(shù)

9

7

8

6

10

9

9

8

10

9

7

8

1)試判定該玩具是否合格;

2)將該玩具拋擲一次,記事件:向上的面標(biāo)記數(shù)字是完全平方數(shù)(能寫成整數(shù)的平方形式的數(shù),如,9為完全平方數(shù));事件:向上的面標(biāo)記的數(shù)字不超過4.試根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),完成以下列聯(lián)表(其中表示的對立事件),并回答在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下,能否認(rèn)為事件與事件有關(guān).

合計(jì)

合計(jì)

100

(參考公式及數(shù)據(jù): ,

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