【題目】過(guò) 軸上動(dòng)點(diǎn) 引拋物線 的兩條切線 、 , 、 為切點(diǎn),設(shè)切線 、 的斜率分別為 和 .
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求證:直線 恒過(guò)定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)過(guò) 與拋物線 的相切的直線的斜率是 ,
則該切線的方程為: ,由 得
,
則 都是方程 的解,故 。
(Ⅱ)法1:設(shè) ,
故切線 的斜率是 ,方程是 又 ,
所以方程可化為 ,
切線 的斜率是 ,方程是 又 ,
所以方程可化為 ,
又由于 點(diǎn)在AP上,則 ,
又由于 點(diǎn)在AQ上,則 ,
,
則直線PQ的方程是 ,則直線PQ過(guò)定點(diǎn) .
法2:設(shè) , 所以,
直線PQ: ,
即 ,由(1)知 ,
所以,直線PQ的方程是 ,則直線PQ過(guò)定點(diǎn) .
【解析】(1)設(shè)出過(guò)A點(diǎn)的直線,聯(lián)立拋物線,已知直線與拋物線相切,故,再利用韋達(dá)定理可以得到結(jié)果。
(2)先設(shè)出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),求出PQ直線方程,即可知定點(diǎn)坐標(biāo)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)調(diào)查了某班全部 45 名同學(xué)參加書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)
參加書(shū)法社團(tuán) | 未參加書(shū)法社團(tuán) | |
參加演講社團(tuán) | 8 | 5 |
未參加書(shū)法社團(tuán) | 2 | 30 |
(1)從該班隨機(jī)選 1 名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率;
(2)在既參加書(shū)法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的 8 名同學(xué)中,有 5 名男同學(xué),3名女同學(xué).現(xiàn)從這 5 名男同學(xué)和 3 名女同學(xué)中各隨機(jī)選 1 人,求被選中且未被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 , 為兩個(gè)定點(diǎn), 是 的一條切線,若過(guò) 兩點(diǎn)的拋物線以直線 為準(zhǔn)線,則該拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分14分)
已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:對(duì)任意正整數(shù),都有成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,且
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ) 設(shè)如果對(duì)任意正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知銳角△ABC中,內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為,且滿足:,,則的取值范圍是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,離心率為 ,左、右焦點(diǎn)分別為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線 與橢圓交于A,B兩點(diǎn),與以 為直徑的圓交于C,D兩點(diǎn),求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若函數(shù) 在 處有極值 ,求 的值;
(2)若對(duì)于任意的 在 上單調(diào)遞增,求 的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)和兩種產(chǎn)品,按計(jì)劃每天生產(chǎn)各不得少于10噸,已知生產(chǎn)產(chǎn)品噸需要用煤9噸,電4度,勞動(dòng)力3個(gè)(按工作日計(jì)算).生產(chǎn)產(chǎn)品1噸需要用煤4噸,電5度,勞動(dòng)力10個(gè),如果產(chǎn)品每噸價(jià)值7萬(wàn)元, 產(chǎn)品每噸價(jià)值12萬(wàn)元,而且每天用煤不超過(guò)300噸,用電不超過(guò)200度,勞動(dòng)力最多只有300個(gè),每天應(yīng)安排生產(chǎn)兩種產(chǎn)品各多少才是合理的?
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