Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點(diǎn)A到平面PMB的距離．

Answer 1

分析：（1）取PB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直線與平面平行的判定定理進(jìn)行證明，即可解決問題；
（2）易證PD⊥MB，又因?yàn)榈酌鍭BCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點(diǎn)，然后利用平面與平面垂直的判定定理進(jìn)行證明；
（3）因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離，過點(diǎn)D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離，從而求解．

解答：解：（1）證明：取PB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，
因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC中點(diǎn)，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥MQ MQ⊆平面PMB DN?平面PMB

?DN∥平面PMB．

（2）

PD⊥平面ABCD MB⊆平面ABCD

?PD⊥MB
又因?yàn)榈酌鍭BCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點(diǎn)，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.

MB⊥平面PAD MB⊆平面PMB

?平面PMB⊥平面PAD．

（3）因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離．
過點(diǎn)D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離.DH=

a 2 ×a

5 2 a

=

5

5

a．
∴點(diǎn)A到平面PMB的距離為

5

5

a．

點(diǎn)評：本題主要考查空間線面的位置關(guān)系，空間角的計(jì)算等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和探究能力，同時(shí)考查學(xué)生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．