已知圓O：交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連結(jié)PF，過原點O作直線PF的垂線交直線于點Q．

   （1）求橢圓C的標準方程；

   （2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ圓O相切；

   （3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

 

【答案】

（1）     （2）見解析   （3）見解析

【解析】(1)由a和e可求出c,進而求出b,橢圓方程確定.

（2）可先求出直線OQ的方程y=-2x.然后求出Q的坐標.從而通過PQ和OQ的斜率證明直線PQ與圓O相切.

(3)根據(jù)（2）的解題思路，設，然后利用P的坐標表示出OQ的方程，再求出點Q的坐標，然后根據(jù)OP和PQ的斜率之積是否為-1,來判斷直線PQ始終與圓O是否相切

（1）因為 則b=1，即橢圓C的標準方程為  3分

（2）因為P（1，1），所以

所以，所以直線OQ的方程為y= —2x.       4分

又Q在直線上，所以點Q（—2，4） 

    即PQ⊥OQ，故直線PQ與圓O相切，               7分

（3）當點P在圓O上運動時，直線PQ與圓P保持相切的位置關系

設，則

所以直線OQ的方程為            所以點Q  

所以                9分

                       10分

所以，即OP⊥PQ（P不與A、B重合），

故直線PQ始終與圓O相切.                    12分

 

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已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x軸于A點，交y軸于B點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．則線段AB中點的軌跡方程為
2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）
2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：如圖，圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓，其左焦點為F，若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的左準線l于點Q．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），
①求線段PQ的長；
②求證：直線PQ與圓O相切．

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（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ圓O相切；
（3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

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已知圓O：交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連結(jié)PF，過原點P作直線PF的垂線交直線于點Q．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ圓O相切；

（3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

 

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