【題目】如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．

（1）證明：點在平面內(nèi)；

（2）若，，，求二面角的正弦值．

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進而可證得點在平面內(nèi)；

（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進而可求得二面角的正弦值.

（1）在棱上取點，使得，連接、、、，

在長方體中，且，且，

，，且，

所以，四邊形為平行四邊形，則且，

同理可證四邊形為平行四邊形，且，

且，則四邊形為平行四邊形，

因此，點在平面內(nèi)；

（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，

，，，，

設(shè)平面的法向量為，

由，得取，得，則，

設(shè)平面的法向量為，

由，得，取，得，，則，

，

設(shè)二面角的平面角為，則，.

因此，二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】張師傅欲將一球形的石材工件削砍加工成一圓柱形的新工件，已知原球形工件的半徑為，則張師傅的材料利用率的最大值等于（注：材料利用率=）（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】設(shè)球半徑為R，圓柱的體積為時圓柱的體積最大為 ,因此材料利用率= ,選C.

點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法

求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．

【題型】單選題
【結(jié)束】
12

【題目】已知拋物線： 在點處的切線與曲線： 相切，若動直線分別與曲線、相交于、兩點，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】孔子曰：溫故而知新.數(shù)學學科的學習也是如此.為了調(diào)查數(shù)學成績與及時復習之間的關(guān)系，某校志愿者展開了積極的調(diào)查活動：從高三年級640名學生中按系統(tǒng)抽樣抽取40名學生進行問卷調(diào)查，所得信息如下：

數(shù)學成績優(yōu)秀（人數(shù)）

數(shù)學成績合格（人數(shù)）

及時復習（人數(shù)）

20

4

不及時復習（人數(shù)）

10

6

（1）張軍是640名學生中的一名，他被抽中進行問卷調(diào)查的概率是多少（用分數(shù)作答）；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，運用獨立性檢驗的基本思想，研究數(shù)學成績與及時復習的相關(guān)性.

參考公式：，其中為樣本容量

臨界值表：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（理）某學校高一年級學生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標準見下表，規(guī)定：三級為合格等級，為不合格等級.

百分制

85分及以上

70分到84分

60分到69分

60分以下

等級

為了解該校高一年級學生身體素質(zhì)情況，從中抽取了名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計，按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，樣本中分數(shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.，

（1）求和頻率分布直方圖中的的值；

（2）根據(jù)樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高一學生任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；

（3）在選取的樣本中，從兩個等級的學生中隨機抽取了3名學生進行調(diào)研，記表示所抽取的名學生中為等級的學生人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．

（1）求的方程；

（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近期，湖北省武漢市等多個地區(qū)發(fā)生新型冠狀病毒感染的肺炎疫情．為了盡快遏制住疫情，我國科研工作者堅守在科研一線，加班加點爭分奪秒與病毒抗爭，夜以繼日地進行研究．新型冠狀病毒的潛伏期檢測是疫情控制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一．在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或?qū)C體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期．鐘南山院士帶領(lǐng)的研究團隊統(tǒng)計了武漢市某地區(qū)10000名醫(yī)學觀察者的相關(guān)信息，并通過咽拭子核酸檢測得到1000名確診患者的信息如下表格：

潛伏期（單位：天）

人數(shù)

800

190

8

2

（1）求這1000名確診患者的潛伏期樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值代表）．

（2）新型冠狀病毒的潛伏期受諸多因素影響，為了研究潛伏期與患者性別的關(guān)系，以潛伏期是否超過7天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取100名，得到如下列聯(lián)表．請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認為潛伏期與患者性別有關(guān)．

潛伏期≤7天

潛伏期>7天

總計

男性患者

12

女性患者

50

總計

100

（3）由于采樣不當標本保存不當采用不同類型的標本以及使用不同廠家試劑都可能造成核酸檢測結(jié)果“假陰性”而出現(xiàn)漏診．當核酸檢測呈陰性時，需要進一步進行血清學抗體檢測，以彌補核酸檢測漏診的缺點．現(xiàn)對10名核酸檢測結(jié)果呈陰性的人員逐一地進行血清檢測，記每個人檢測出（是近期感染的標志）呈陽性的概率為且相互獨立，設(shè)至少檢測了9個人才檢測出呈陽性的概率為，求取得最大值時相應(yīng)的概率．

附：，其中．

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.

（1）求圓的極坐標方程；

（2）若直線：（為參數(shù)）被圓截得的弦長為2，求直線的傾斜角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，，，過點的直線與橢圓相交于點，兩點（兩點均在軸的上方），且，

（1）若，求橢圓的方程；

（2）直線的斜率；

（3）求的大小.

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