Question

(本小題滿分12分)

定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界．

已知函數(shù)；．

（1）   當a=1時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)在上不是有界函數(shù)．

（2）實數(shù)a的取值范圍為

（3）當時，的取值范圍是；

當時，的取值范圍是

【解析】解：(1) 當時， 

因為在上遞減，所以，即在的值域為

故不存在常數(shù)，使成立

所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)．  

       (2) 由題意知，在上恒成立．

，    

∴ 在上恒成立

∴ 

設(shè)，，，由得 t≥1，

設(shè)，

所以在上遞減，在上遞增，

在上的最大值為，在上的最小值為 

所以實數(shù)a的取值范圍為

(3) ，

∵ m > 0  ，     

∴ 在上遞減，∴     即 

①當，即時，，此時，

②當，即時，， 此時，  

綜上所述，當時，的取值范圍是；

當時，的取值范圍是．