Question

將編號為1,2，…，9的九個小球隨機(jī)放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球.設(shè)圓周上所有相鄰兩球號碼之差的絕對值之和為要S.求使S達(dá)到最小值的放法的概率.（注：如果某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則認(rèn)為是相同的放法）

Answer 1

九個編號不同的小球放在圓周的九個等分點上，每點放一個，相當(dāng)于九個不同元素在圓周上的一個圓形排列，故共有8！種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)因素，則本質(zhì)不同的放法有種.…5分
下求使S達(dá)到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從1到9有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對其中任一條路徑，設(shè)是依次排列于這段弧上的小球號碼，則
上式取等號當(dāng)且僅當(dāng)，即每一弧段上的小球編號都是由1到9遞增排列.
因此.…………………………………………………………………10分
由上知，當(dāng)每個弧段上的球號確定之后，達(dá)到最小值的排序方案便唯一確定.
在1,2，…，9中，除1與9外，剩下7個球號2,3，…，8，將它們分為兩個子集，元素較少的一個子集共有種情況，每種情況對應(yīng)著圓周上使S值達(dá)到最小的唯一排法，即有利事件總數(shù)是種，故所求概率……………20分