Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，且，x₂x₃=6，，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若，3a＞2c＞2b，求證：導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)f'（x）的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離不小于，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172647636619458/SYS201311031726476366194020_DA/0.png">，因?yàn)閤₂，x₃是方程的兩根，使用根與系數(shù)的關(guān)系，再由，求出b、a、c 的值，得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出減區(qū)間．
（Ⅱ） 求出，f'（0）=c，f'（2）=a-c，當(dāng)c＞0時(shí) f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)c≤0時(shí)，f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
（Ⅲ）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，由|m-n|≥，及 3a＞2c＞2b，a＞0 求出的取值范圍．
解答：解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172647636619458/SYS201311031726476366194020_DA/6.png">，又，則．
因?yàn)閤₂，x₃是方程的兩根，則，．即b=-3a，c=2a．
又，即，所以，，即a=1，從而b=-3，c=2．
所以，．  因?yàn)閒'（x）=x²-3x+2，由x²-3x+2＜0，得1＜x＜2．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（2+∞）．
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=ax²+bx+c，，所以，即3a+2b+2c=0．
因?yàn)?a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
（1）當(dāng)c＞0時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172647636619458/SYS201311031726476366194020_DA/19.png">，則f'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
（2）當(dāng)c≤0時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172647636619458/SYS201311031726476366194020_DA/20.png">，則f'（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
故導(dǎo)函數(shù)f'（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
（Ⅲ）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，則，．
所以．
由已知，，則，即．
所以，即或．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以，3a＞-3a-2b＞2b，即 ．
因?yàn)閍＞0，所以．
綜上分析，的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)與不等式性質(zhì)的應(yīng)用．