Question

【題目】已知公差不為0的等差數列{an}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比數列．
（1）求數列{an}通項公式；
（2）設數列{bn}滿足bn= ，求適合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整數n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設公差為為d，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比數列，

∴（a4+1）2=（a2+1）（a8+1），

∴（3d+3）2=（3+d）（3+7d），

解得d=3，

∴an=a1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1

（2）解：∵數列{bn}滿足bn= ，

∴bn= ，

∴bnbn+1= =3（ ﹣ ）

∴b1b2+b2b3+…+bnbn+1=3（ ﹣ + ﹣ ++ ﹣ ）=3（ ﹣ ）= ，

即 = ，

解得n=10，

故正整數n的值為10

【解析】（1）由a2+1，a4+1，a8+1成等比數列，建立關于d的方程，解出d，即可求數列{an}的通項公式；（2）表示出bn ， 利用裂項相消法求出b1b2+b2b3+…+bnbn+1 ， 建立關于n的方程，求解即可
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：或，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．