【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(1)求證:MN∥平面BDE;
(2)求二面角C-EM-N的正弦值;
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,由已知可證MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,則MN∥平面BDE;
(2)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A為原點(diǎn),分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面MEN與平面CME的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值,進(jìn)一步求得正弦值;
(1)證明:取AB中點(diǎn)F,連接MF、NF,
∵M(jìn)為AD中點(diǎn),∴MF∥BD,
∵BD平面BDE,MF平面BDE,∴MF∥平面BDE.
∵N為BC中點(diǎn),∴NF∥AC,
又D、E分別為AP、PC的中點(diǎn),∴DE∥AC,則NF∥DE.
∵DE平面BDE,NF平面BDE,∴NF∥平面BDE.
又MF∩NF=F.
∴平面MFN∥平面BDE,則MN∥平面BDE;
(2)∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.
∴以A為原點(diǎn),分別以AB、AC、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
∵PA=AC=4,AB=2,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),則
設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為
由 ,得 ,取z=2,得
由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為
∴ .
∴二面角C-EM-N的余弦值為,則正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若兩直線的傾斜角分別為 與,則下列四個(gè)命題中正確的是( )
A. 若<,則兩直線的斜率:k1 < k2 B. 若=,則兩直線的斜率:k1= k2
C. 若兩直線的斜率:k1 < k2 ,則< D. 若兩直線的斜率:k1= k2 ,則=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓離心率是,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),動(dòng)圓過定點(diǎn)E(1,0)和F(7,0),且與直線x=4交于點(diǎn)P,Q.
①求證:AP,AQ斜率的積是定值;
②設(shè)AP,AQ分別與橢圓交于點(diǎn)M,N,求證:直線MN過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某海輪以30海里/小時(shí)的速度航行,在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60°,向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn),測(cè)得油井P在南偏東30°,海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn),求P、C間的距離( )海里.
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x反函數(shù)為f﹣1(x),若f﹣1(m)+f﹣1(n)=2,則 的最小值為( )
A.
B.
C.1
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Ω是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成區(qū)域(含邊界),A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn),若點(diǎn)P(x,y)、P′(x′,y′)滿足x≤x′且y≥y′,則稱P優(yōu)于P′,如果Ω中的點(diǎn)Q滿足:不存在Ω中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q,那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,已知角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且tanB=2,tanC=3.
(1)求角A的大;
(2)若c=3,求b的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠ADC=120°,AB=2CD=2,平面D1DCC1垂直平面ABCD,D1C⊥AB,M是線段AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:D1M∥面B1BCC1;
(Ⅱ)若DD1=2,求平面C1D1M和平面ABCD所成的銳角的余弦值.
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