已知數(shù)列{an}滿足an+1=
a
2
n
+9
2an
，a1＞3
（1）求證an＞3；      
（2）比較an，an+1的大小，并證明
（3）是否存在m∈N+，使得（am-3）（am+2-3）=（am+1-3）2？證明你的結(jié)論．
分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可
（2）要判斷an，an+1的大小，只要檢驗an+1-an
an2+9
2an
-an=與0的大小即可
（3）假設(shè)存在使題設(shè)成立的正整數(shù)m，則由（am-3）（am+2-3）=（am+1-3）2及am-3=2am+1，可求am，檢驗是否滿足am＞3
解答：（1）證明：①當(dāng)n=1時不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立，即ak＞3，則ak+1=
ak2+9
2ak
＞
2ak•3
2ak
=3
即當(dāng)n=k+1時不等式仍成立．
根據(jù)①②對任何n∈N*，都有an＞3．…（4分）
（2）∵an+1-an=
an2+9
2an
-an=
9-an2
2an
＜0，
∴an+1＜an，n∈N*，…（7分）
（3）假設(shè)存在使題設(shè)成立的正整數(shù)m，則
（am-3）（am+2-3）=（am+1-3）2
即（am-3）•
(am+1-3)2
2am+1
=（am+1-3）2，
∴am-3=2am+1，
從而am=-3，這不可能．
故不存在m∈N*，使得（am-3）（am+2-3）=（am+1-3）2．…（11分）
點評：本題主要考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題，利用作差法比較兩個式子的大小及存在性命題的解決，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

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