Question

（本題滿分16分）兩鎮(zhèn)A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩鎮(zhèn)外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對鎮(zhèn)區(qū)的影響度與所選地點到鎮(zhèn)的的距離有關(guān)，對鎮(zhèn)A和鎮(zhèn)B的總影響度為鎮(zhèn)A與鎮(zhèn)B的影響度之和，記C點到鎮(zhèn)A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對鎮(zhèn)A和鎮(zhèn)B的總影響度為y，統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對鎮(zhèn)A的影響度與所選地點到鎮(zhèn)A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對鎮(zhèn)B的影響度與所選地點到鎮(zhèn)B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當垃圾處理廠建在的中點時，對鎮(zhèn)A和鎮(zhèn)B的總影響度為0.065．

（Ⅰ）將y表示成x的函數(shù)；

（Ⅱ）討論（Ⅰ）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對鎮(zhèn)A和鎮(zhèn)B的總影響度最��？若存在，求出該點到鎮(zhèn)A的距離;若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）  

解析:

（Ⅰ）如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當時，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為

（Ⅱ）,,令得,所以,即,當時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當時, ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當時, 即當C點到鎮(zhèn)A的距離為時, 函數(shù)有最小值.所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對鎮(zhèn)A和鎮(zhèn)B的總影響度最小.