已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O （0，0），A （3，0）的距離之比為
1
2
．
（1）求點(diǎn)M軌跡C的方程；
（2）在平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)Q（a，b），使得對(duì)于軌跡C上任一點(diǎn)P，都有
|PQ|
|PA|
為一常數(shù)．若存在，求出a，b的值，若不存在，說明理由．
分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用已知條件距離之比，即可求點(diǎn)M軌跡C的方程；
（2）設(shè)存在定點(diǎn)Q（a，b），判斷定點(diǎn)的位置在x軸上，通過
|PQ|
|PA|
為一常數(shù)．設(shè)為k，P在圓上，列出方程，推出方程組，求出a，b的值，然后求出比值．
解答：解：（1）由題意點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)O （0，0），A （3，0）的距離之比為
1
2

得
x2+y2
=
1
2
(x-3)2+y2
，
化簡得點(diǎn)M的軌跡方程（x+1）2+y2=4
（2）由題意可知，若存在定點(diǎn)，必在x軸上，設(shè)為（a，0），
由條件可得：
(x-a)2+(y-b)2
(x-3)2+y2
=k，
又點(diǎn)P在圓（x+1）2+y2=4上，
整理得（8k2-2-2a）x-2by+a2+b2+3-12k2=0，
因?yàn)榕cx，y無關(guān)，故可得
8k2-2-2a=0
2b=0
a2+b2+3-12k2=0
，
解得a=0或3（舍），
∴存在定點(diǎn)Q（0，0）滿足條件，此時(shí)定值k=
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，存在性問題的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•武昌區(qū)模擬）已知點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)A1（-1，0），A2（1，0）連線的斜率之積為3．
（I）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（II）是否存在點(diǎn)M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到點(diǎn)B（-2，0）和點(diǎn)C（0，2）的距離之和最�。咳舸嬖�，求出點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2004•寧波模擬）（理）已知點(diǎn)M（x，y）是曲線C1：3x3-4xy+24=0上的動(dòng)點(diǎn)，與M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(
x
2
，
y
3
)的軌跡是曲線C2．
（1）求曲線C2的方程，并表示為y=f（x）的形式；
（2）判斷并證明函數(shù)y=f（x）在區(qū)間(
1
32
，+∞)上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)M（x，y）是橢圓C：=1上的動(dòng)點(diǎn)，以M為切點(diǎn)的切線l與直線y=2相交于點(diǎn)P．
（1）過點(diǎn)M且l與垂直的直線為l1，求l1與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；
（2）在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使得以PM為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（參考定理：若點(diǎn)Q（x1，y1）在橢圓，則以Q為切點(diǎn)的橢圓的切線方程是：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)A1（-1，0），A2（1，0）連線的斜率之積為3．
（I）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（II）是否存在點(diǎn)M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到點(diǎn)B（-2，0）和點(diǎn)C（0，2）的距離之和最��？若存在，求出點(diǎn)M（x，y）的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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