Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；

（2）討論的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）利用奇偶性的定義，判斷并證明得為奇函數(shù)；（2）分參得，判斷其單調(diào)性和值域，得零點個數(shù)的情況。

試題解析：

解法一：（Ⅰ）當時，函數(shù)，該函數(shù)為奇函數(shù).

證明如下:

依題意得函數(shù)的定義域為R，

又

所以，函數(shù)為奇函數(shù).

（Ⅱ）因為

所以 ，

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增且值域為

所以， 在上單調(diào)遞減且值域為

所以，當或時，函數(shù)無零點；

當時，函數(shù)有唯一零點.

解法二：（Ⅰ）當時，函數(shù)，該函數(shù)為奇函數(shù).

證明如下:

依題意有函數(shù)定義域為R，

又

=

即.

所以，函數(shù)為奇函數(shù).

（Ⅱ）問題等價于討論方程=0的解的個數(shù)。

由，得

當時，得，即方程無解；

當時，得，

當即時，方程有唯一解；

當即或時，方程無解.

綜上所述，當或時，函數(shù)無零點；

當時，函數(shù)有唯一零點.