Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、（）連線(xiàn)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上、兩點(diǎn)所成的曲線(xiàn)C可以是圓、橢圓或雙曲線(xiàn)．求曲線(xiàn)C的方程，并討論C的形狀與m值得關(guān)系．

 

Answer 1

當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，C是圓心在原點(diǎn)的圓；

當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為， C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)．

【解析】

試題分析：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率乘積求出曲線(xiàn)軌跡方程，然后討論 m的值，判斷曲線(xiàn)是圓、橢圓或雙曲線(xiàn)時(shí)m的值的情況．

試題解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，由條件可得

即， 又的坐標(biāo)滿(mǎn)足

，故依題意，曲線(xiàn)C的方程為． 4分

當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，

C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓； 6分

當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，

C是圓心在原點(diǎn)的圓； 8分

當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，

C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓； 10分

當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，

C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)． 12分

考點(diǎn)：（1）求軌跡方程；（2）圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用.