【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.

(1)求出,,的值,并求出及數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和;

(3)設(shè),在數(shù)列中取出()項(xiàng),按照原來(lái)的順序排列成一列,構(gòu)成等比數(shù)列,若對(duì)任意的數(shù)列,均有,試求的最小值.

【答案】(1),,,.;(2)(3)2

【解析】

1)利用整理可知,通過(guò)計(jì)算出前三項(xiàng)的值,利用歸納推理猜想,進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;

2)通過(guò)(1)裂項(xiàng)可知,進(jìn)而分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可;

3)通過(guò)(1)可知,進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和.

解:(1)∵,

,即,

又∵,即,

,,

猜想:.

下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明:

①當(dāng)時(shí),命題成立;

②假設(shè)當(dāng)時(shí),有,

,

即當(dāng)時(shí),命題也成立;

由①②可知.

,

又∵滿(mǎn)足上式,

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)由(1)可知,,

特別地,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù),此時(shí),

①若為偶數(shù),則

;

②當(dāng)為奇數(shù)且時(shí),,

,

又∵滿(mǎn)足上式,

∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;

由①②可知: ;

(3)由(1)可知,

,

由題意可知需等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比均達(dá)到最大,顯然首項(xiàng)為1公比為,

,

,

的最小值為2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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