【題目】如圖所示，已知多面體中，四邊形為菱形，為正四面體，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明平面平面來證明平面；

（2）如圖，以菱形的兩條對角線所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計算二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，

所以，

又平面，平面，所以平面，

同理可得平面，

因?yàn)?/span>平面，，

所以平面平面

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

（2）以菱形的兩條對角線所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>為正四面體，所以點(diǎn)E坐標(biāo)為，

，

因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面與平面的法向量相同.

設(shè)平面的一個法向量為，則

，即

可取.

可取為平面的法向量.

所以，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓的方程為，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線的左上方．

（1）若以為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，求此時直線的方程；

（2）求證：的內(nèi)切圓的圓心在定直線上．

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【題目】現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5種在線教學(xué)軟件，若某學(xué)校要從中隨機(jī)選取3種作為教師“停課不停學(xué)”的教學(xué)工具，則其中甲、乙、丙至多有2種被選取的概率為（ ）

A.B.C.D.

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（2）設(shè)函數(shù)g(x)＝x3－6x＋5，x∈R. 若關(guān)于x的方程g(x)＝m有三個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】隨著運(yùn)動app和手環(huán)的普及和應(yīng)用，在朋友圈、運(yùn)動圈中出現(xiàn)了每天1萬步的健身打卡現(xiàn)象，“日行一萬步，健康一輩子”的觀念廣泛流傳.“健步達(dá)人”小王某天統(tǒng)計了他朋友圈中所有好友（共500人）的走路步數(shù)，并整理成下表：

分組（單位：千步）

頻數(shù)

60

240

100

60

20

18

0

2

（1）請估算這一天小王朋友圈中好友走路步數(shù)的平均數(shù)（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；

（2）若用表示事件“走路步數(shù)低于平均步數(shù)”，試估計事件發(fā)生的概率；

（3）若稱每天走路不少于8千步的人為“健步達(dá)人”，小王朋友圈中歲數(shù)在40歲以上的中老年人共有300人，其中健步達(dá)人恰有150人，請?zhí)顚懴旅?/span>列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表判斷，有多大把握認(rèn)為，健步達(dá)人與年齡有關(guān)？

健步達(dá)人

非健步達(dá)人

合計

40歲以上

不超過40歲

合計

附：.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】如圖所示，邊長為a的空間四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，則異面直線AD與BC所成角的大小為（　�。�

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)且于點(diǎn).

（1）求的值；

（2）過軸上一點(diǎn) 的直線交于，兩點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為，為的焦點(diǎn)，若，求中點(diǎn)的軌跡方程.

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【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝(n∈N*，n≥2)，數(shù)列{bn}滿足關(guān)系式bn＝(n∈N*)．

(1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）寫出直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過動點(diǎn)且平行于的直線交曲線于兩點(diǎn)，若，求動點(diǎn)到直線的最近距離．

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