【題目】已知函數(shù)fx)=x|xa|+2xaR).

1)若函數(shù)fx)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

2)若存在實(shí)數(shù)a[4,4]使得關(guān)于x的方程fx)﹣tfa)=0恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】(1)﹣2≤a≤2;(2)(1,).

【解析】

1)把函數(shù)化為分段函數(shù)的形式,根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得,解不等式組即可.

2)由(1)當(dāng)﹣2≤a≤2時(shí),fx)在R上是增函數(shù),則關(guān)于x的方程fx)﹣tfa)=0不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;

當(dāng)a∈(2,4]時(shí),討論的單調(diào)性,當(dāng)方程fx)=tfa)=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根,則2ta∈(2a),令ga,使即可,同理再求當(dāng)a[4,﹣2)時(shí)即可.

1fx)=x|xa|+2x

fx)在R上是增函數(shù),則,即﹣2≤a≤2,則a范圍為﹣2≤a≤2;

2)當(dāng)﹣2≤a≤2時(shí),fx)在R上是增函數(shù),則關(guān)于x的方程fx)﹣tfa)=0不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;

則當(dāng)a∈(2,4]時(shí),由fx,

xa時(shí),fx)=x2+2ax對稱軸x,

fx)在x[a,+∞)為增函數(shù),此時(shí)fx)的值域?yàn)?/span>[fa),+∞)=[2a,+∞),

xa時(shí),fx)=﹣x2+2+ax對稱軸x,

fx)在x∈(﹣]為增函數(shù),此時(shí)fx)的值域?yàn)椋ī?/span>,]

fx)在x[,+∞)為減函數(shù),此時(shí)fx)的值域?yàn)椋?/span>2a];

由存在a∈(2,4],方程fx)=tfa)=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根,則2ta∈(2a,),

即存在a∈(2,4],使得t∈(1,)即可,

ga,

只要使t<(ga))max即可,而ga)在a∈(2,4]上是增函數(shù),

gamaxg4,

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為(1,);

當(dāng)a[4,﹣2)時(shí),由 ,

fx)在單調(diào)遞增,值域?yàn)?/span>;

單調(diào)遞減,值域?yàn)?/span>;

單調(diào)遞增,值域?yàn)?/span>

由存在a[4,﹣2),方程fx)=tfa)=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根,

,即

,只要使即可,

a[4,﹣2)單調(diào)遞減,

所以t的取值范圍為(1);

綜上所述,實(shí)數(shù)t的取值范圍為(1).

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