已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正數(shù),其前n項(xiàng)和sn滿足sn=(
an+12
)2
,bn=10-an(n∈N)
(1)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的最大值.
分析:(1)當(dāng)n=1時(shí),易求a1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1⇒an-an-1=2,從而可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,從而可求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)知an=2n-1,而bn=10-an,可求bn=-2n+11,利用等差數(shù)列的求和公式即可求得Tn,即可求Tn的最大值.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=(
a1+1
2
)
2
,
∴a1=1;
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(
an+1
2
)
2
-(
an-1+1
2
)
2
,
即:an2-an-12-2an-2an-1=0,
an2-2an+1=an-12+2an-1+1,
(an-1)2=(an-1+1)2
∴an-1=an-1+1,
∴an-an-1=2,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,
∴an=2n-1.
(2)∵bn=10-an=-2n+11,b1=9,
∴bn-bn-1=-2,
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為9,公差為-2的等差數(shù)列,
∴Tn=
n(b1+bn)
2
=-n2+10n=-(n-5)2+25,
∴當(dāng)n=5時(shí),Tnmax=25.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的求和,著重考查等差關(guān)系的確定及其通項(xiàng)公式、求和公式的應(yīng)用,考查推理與運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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2n
3n+1
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3
5
(2)
11
17

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[  ]
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8

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16

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32

D.

36

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  1. A.
    8
  2. B.
    16
  3. C.
    32
  4. D.
    36

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