Question

有下列命題：
①函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中，相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π；
②函數(shù)y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱；
③關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a=-1；
④已知命題p：對(duì)任意的x∈R，都有sinx≤1，則非p：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命題的序號(hào)是（　�。�

A．①②

B．③④

C．②③④

D．①②④

Answer 1

分析：根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得①不正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移公式，結(jié)合反比例函數(shù)為奇函數(shù)可得函數(shù)的對(duì)稱中心為（1，1），得②不正確；根據(jù)二次函數(shù)根的判別式，可得③正確；由全稱命題及其否定，可得④正確．由此可得本題的答案．

解答：解：∵函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）可化簡(jiǎn)為y=

1

2

sin（2x+

π

2

）
∴函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的周期為T=

2π

2

=π，
可得相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為半個(gè)周期即

π

2

，故①不正確；
∵函數(shù)y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，
∴函數(shù)y=

x+3

x-1

的圖象，由y=

4

x

的圖象先向右平移1個(gè)單位、再向上平移1單位而得．
因此函數(shù)y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，得②不正確；
∵關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴方程為含有等根的一元二次方程，可得△=4a²+4a=0，得a=-1（舍去0），故③正確；
∵命題p：對(duì)任意的x∈R，都有sinx≤1，是一個(gè)全稱命題
∴根據(jù)含有量詞的命題否定，可得非p：存在x∈R，使得sinx＞1．故④正確．
綜上所述，真命題的序號(hào)是③④
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和一元二次方程根的判別式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．