Question

已知正數(shù)a，b滿足a+b=1．
（1）求

2a+1

+

2b+1

的最大值；
（2）求

1

a

+

2

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出

2a+1

+

2b+1

的平方的表達(dá)式，利用基本不等式求出ab的最大值，然后求出所求表達(dá)式的最大值；
（2）對(duì)于

1

a

+

2

b

的兩邊同乘a+b，然后利用基本不等式直接求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）(

2a+1

+

2b+1

)2=2a+1+2b+1+2

(2a+1)(2b+1)

=4+2

4ab+3

，
因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b=1，ab≤ (

a+b

2

)2 =

1

4

；
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴(

2a+1

+

2b+1

)2=4+2

4ab+3

≤8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

時(shí)，

2a+1

+

2b+1

的最大值為：2

2

．

（2）因?yàn)?span id="md2selt" class="MathJye">

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

a b • 2b a

=3+2

2

．當(dāng)且僅當(dāng)a²=2b²，時(shí)取等號(hào)．
所求最小值為：3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)在表達(dá)式的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．