Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=2，且anan+1+an+1﹣2an=0（n∈N+）．
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題得 ，又a1=2，則 ， ，

（2）解：猜想 ．

證明：①當(dāng)n=1時(shí)， ，故命題成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即

則當(dāng)n=k+1時(shí)， ，

故命題也成立．

綜上，對(duì)一切n∈N+都有 成立

【解析】（1）由題意可得 ，又a1=2，可求得a2 ， 再由a2的值求 a3 ， 再由a3 的值求出a4的值．（2）猜想 ，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．