【題目】在如圖所示的三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，是的中位線，為線段的中點.

（1）證明：.

（2）若二面角為直二面角，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）如圖，由中位線可得，取的中點為，取的中點，連接，可證平面，從而可證.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計算出平面的法向量和平面的法向量的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.

（1）如圖，取的中點為，取的中點，連接.

因為是邊長為2的等邊三角形，，所以.

因為，故，故.

因為，所以且，所以.

因為，故，所以.

因為，平面,平面，故平面，

因為平面，.

因為，故，所以.

（2）由（1）可得，

所以為二面角的平面角，

因為二面角為直二面角，所以即.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則.

故，，.

設(shè)平面的法向量為，

則即，故，取，則，

所以.

設(shè)平面的法向量為，

則即，取，則，

故，

所以，

因為二面角的平面角為銳角，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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（1）估計成績得分落在[86，100]中的概率．

（2）設(shè)這1000人得分的樣本平均值為．

（i）求（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

（ii）有關(guān)部門為參與此次活動的市民贈送20元或10元的隨機話費，每次獲贈20元或10元的隨機話費的概率分別為和．得分不低于的可獲贈2次隨機話費，得分低于的可獲贈1次隨機話費．求一位市民參與這次活動獲贈話費的平均估計值．

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【題目】如圖，正方體的棱長為分別是棱，的中點，過點的平面分別與棱，交于點，設(shè).給出以下四個命題：

①平面與平面所成角的最大值為45°；

②四邊形的面積的最小值為；

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④點到平面的距離的最大值為.

其中命題正確的序號為（ ）

A.②③④B.②③C.①②④D.③④

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【題目】某公司培訓(xùn)員工某項技能，培訓(xùn)有如下兩種方式：

方式一：周一到周五每天培訓(xùn)1小時，周日測試

方式二：周六一天培訓(xùn)4小時，周日測試

公司有多個班組，每個班組60人，現(xiàn)任選兩組記為甲組、乙組先培訓(xùn)；甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓(xùn)后測試達(dá)標(biāo)的人數(shù)如表：

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

用方式一與方式二進(jìn)行培訓(xùn)，分別估計員工受訓(xùn)的平均時間精確到，并據(jù)此判斷哪種培訓(xùn)方式效率更高？

在甲乙兩組中，從第三周培訓(xùn)后達(dá)標(biāo)的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人來自甲組的概率．

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