Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對任意的x都有f（x+2）=f（x）成立，且當x∈（0，1）時f(x)=

2x

4x+1

．
（1）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并加以證明；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）當關(guān)于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有實數(shù)解時，求實數(shù)λ的取值范圍，

Answer 1

分析：（1）用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，作差，變形，判號，得出結(jié)論四步，
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解，其步驟是先設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），求出f（-x），再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，得到 f（x）=-f（-x）求出x∈（-1，0），上的表達式，再由所給的恒等式求出自變量為-1，0，1時的函數(shù)值為零，用分段函數(shù)寫出解析式．
（3）將λ表示為x的函數(shù)，單調(diào)性求f（x）在[-1，1]上值域，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，證明如下
當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x 1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

( 4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2 x1+x2-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減
（2）解：當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在區(qū)間[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1      x∈(0，1) - 2 x 4 x+1     x∈(-1，0) 0                 x∈{-1，0，1}

（3）解：f（x）-1=2λ在[-1，1]上有實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為λ=

1

2

f（x）-

1

2

由函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在[-1，1]的值域
即得，f（x）的值域為(-

1

2

，-

2

5

)∪(

2

5

，

1

2

)∪{0}λ∈(-

3

4

，-

7

10

)∪(-

3

10

，-

1

4

)∪{-

1

2

}

點評：本題考查復雜函數(shù)的單調(diào)性證明以及利用函數(shù)的奇偶性求對稱區(qū)間上的解析式，思路簡單，運算變形較繁，是一道提高答題者耐心的好題．