Question

某企業(yè)2012年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產能力將逐年下降．若不能進行技術改造，預測從2013年起每年比上一年純利潤減少20萬元，2013年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（2013年為第1年）的利潤為500（1+）萬元（n為正整數）．
（1）設從2013年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為A_n萬元，進行技術改造后的累計純利潤為B_n萬元（須扣除技術改造資金），求A_n，B_n的表達式；
（2）依上述預測，從2013年起該企業(yè)至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？

Answer 1

解：（1）依題設，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n）=490n-10n²；
B_n=500[（1+）+（1+）+…+（1+）]-600=500n--100．
（2）B_n-A_n=（500n--100）-（490n-10n²）
=10n²+10n--100=10[n（n+1）--10]．
因為函數y=x（x+1）--10在（，+∞）上為增函數，
當1≤n≤3時，n（n+1）--10≤12--10＜0；
當n≥4時，n（n+1）--10≥20--10＞0．
∴僅當n≥4時，B_n＞A_n．
答：至少經過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤．
分析：（1）根據從2013年起每年比上一年純利潤減少20萬元，可得A_n的表達式；根據2013年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（2013年為第1年）的利潤為500（1+）萬元，可得B_n的表達式；
（2）作差，利用函數的單調性，即可得到結論．
點評：本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式的等基礎知識，考查運用數學知識解決實際問題的能力．