【題目】已知函數(shù),其中常數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性
(2)當(dāng)時(shí),是否存在整數(shù)使得關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解?若存在,求出整數(shù)的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù):,,,
【答案】(1) f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2) 1
【解析】
分析:(1)求導(dǎo) ,設(shè),討論其值域,可得的單調(diào)性;
(2)當(dāng) 時(shí),設(shè), , 在 ,且
可知在(0,)內(nèi),唯一x0∈(,),使得lnx0=x02
并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓當(dāng)x∈(0,e)時(shí),F(x)min =e3(xx0)
因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(xx0)
由此可求m的最小整數(shù)值.
詳解:
解:(1) 求導(dǎo),設(shè) 明顯g(x)在(0,+∞)↓,且g(1)=0
故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓
當(dāng) 時(shí),設(shè), , 在 ,且
注意F′()=3<0,F′()=e3(1ln2e2)≈0.1e3>0
故在(0,)內(nèi),唯一x0∈(,),使得lnx0=x02
并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓
當(dāng)x∈(0,e)時(shí),F(x)min =F(x0)=e3(x0lnx0x+x0)=e3(xx0)
因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(xx0)
當(dāng)x0∈(,)時(shí),F(x)min=e3(xx0)∈(,e)≈(3.32,2.51)
因2m為偶數(shù),故需2m≥2m≥1,即m的最小整數(shù)值為1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,給出滿足的條件,就能得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,下表給出了一些條件及方程:
條件 | 方程 |
① 周長(zhǎng)為 | |
②面積為 | |
③中, |
則滿足條件①,②,③的軌跡方程依次為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)具有性質(zhì)__________.(填入所有正確性質(zhì)的序號(hào))
①最大值為,圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
②圖象關(guān)于軸對(duì)稱;
③最小正周期為;
④圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;
⑤在上單調(diào)遞減
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】王老師的班上有四個(gè)體育健將甲、乙、丙、丁,他們都特別擅長(zhǎng)短跑,在某次運(yùn)動(dòng)會(huì)上,他們四人要組成一個(gè)米接力隊(duì),王老師要安排他們四個(gè)人的出場(chǎng)順序,以下是他們四人的對(duì)話:
甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;
丙:我也不跑第一棒和第四棒;。喝绻也慌艿诙,我就不跑第一棒;
王老師聽了他們四人的對(duì)話,安排了一種合理的出場(chǎng)順序,滿足了他們的所有要求, 據(jù)此我們可以斷定,在王老師安排的出場(chǎng)順序中,跑第三棒的人是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場(chǎng)使用網(wǎng)箱養(yǎng)殖的方法,收獲時(shí)隨機(jī)抽取了 100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:),其頻率分布直方圖如圖:
定義箱產(chǎn)量在(單位:)的網(wǎng)箱為“穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱”, 箱產(chǎn)量在區(qū)間之外的網(wǎng)箱為“非穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱”.
(1)從該養(yǎng)殖場(chǎng)(該養(yǎng)殖場(chǎng)中的網(wǎng)箱數(shù)量是巨大的)中隨機(jī)抽取3個(gè)網(wǎng)箱.將頻率視為概率,設(shè)其中穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱的個(gè)數(shù)為,求的分布列與期望;
(2)從樣本中隨機(jī)抽取3個(gè)網(wǎng)箱,設(shè)其中穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱的個(gè)數(shù)為,試比較的期望與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的最大值為3,其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式和當(dāng)時(shí)的單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)長(zhǎng)度單位,再向下平移1個(gè)長(zhǎng)度單位,得到的圖象,用“五點(diǎn)法”作出在內(nèi)的大致圖象.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),若已知其在內(nèi)只取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值,且當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值為;當(dāng),函數(shù)取得最小值為.
(1)求出此函數(shù)的解析式;
(2)若將函數(shù)的圖像保持橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到函數(shù),再將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù),已知函數(shù)的最大值為,求滿足條件的的最小值;
(3)是否存在實(shí)數(shù),滿足不等式?若存在,求出的范圍(或值),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且.
()求的取值范圍,并討論的單調(diào)性.
()證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 如圖所示的幾何體中, ,平面,且平面,正方形的邊長(zhǎng)為2,為棱中點(diǎn),平面分別與棱交于點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求的長(zhǎng).
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