Question

已知動圓P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）被y軸所截的弦長為2，被x軸分成兩段弧，且弧長之比等于

1

3

 ， |OP|≤r（其中P（a，b）為圓心，O為坐標原點）．
（1）求a，b所滿足的關系式；
（2）點P在直線x-2y=0上的投影為A，求事件“在圓P內隨機地投入一點，使這一點恰好在△POA內”的概率的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用垂徑定理，勾股定理、等腰直角三角形的性質即可得出；
（2）利用點到直線的距離公式、兩點間的距離公式先計算出三角形的面積，利用幾何概率的計算公式得出概率，進而利用導數(shù)求得其最大值．

解答：解：（1）如圖所示，設圓P被y軸所截的弦為EF，與x軸相較于C，D兩點，
過點P作PM⊥EF，垂足為M，連接PE，由垂徑定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r²=1+a²．①
∵被x軸分成兩段弧，且弧長之比等于

1

3

，設

CD

為劣弧，∴∠CPD=90°，
過點P作PN⊥x軸，垂足無N，連接PD，PC，則Rt△PND為等腰直角三角形，∴r²=2b²．②
聯(lián)立①②消去r可得：2b²=1+a²，即為a，b所滿足的關系式．
（2）點P到直線x-2y=0的距離|PA|=

|a-2b|

5

=d，
∵PA⊥OA，∴|OA|=

r2-|PA|2

=

r2-d2

，
∴S_△OAP=

1

2

|OA| |PA|=

1

2

d

r2-d2

，
∴事件“在圓P內隨機地投入一點，使這一點恰好在△POA內”的概率P=

S△OAP

S圓P

=

1 2 d r2-d2

πr2

≤

1

2π

×

d2+(r2-d2)

2r2

=

1

4π

，當且僅當d²=r²-d²，即

r2=1+a2 r2=2b2 r2=2( |a-2b| 5 )2

，解得

a2= 9-4 5 4 5 -7 b2= 1 4 5 -7

∴P的最大值為

1

4π

．

點評：熟練掌握垂徑定理，勾股定理、等腰直角三角形的性質、點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、幾何概率的計算公式、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性是解題的關鍵．