數(shù)列{an}的通項公式為an=
1
(n+1)2
(n∈N*),設(shè)f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-an).
(1)求f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值;
(2)求f(n)的表達(dá)式;
(3)數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=2f(n)-1,它的前n項和為g(n),求證:當(dāng)n∈N*時,g(2n)-
n
2
≥1.
(1)f(1)=
3
4
,f(2)=
2
3
,f(3)=
5
8
,f(4)=
3
5

(2)由f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an
得:f(n-1)=(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(n>1),
兩式相除得:
f(n)
f(n-1)
=1-an=1-
1
(n+1)2
=
n(n+2)
(n+1)2
(n>1).
f(n)
f(n-1)
f(n-1)
f(n-2)
f(2)
f(1)
=
n(n+2)
(n+1)2
(n-1)(n+1)
n2
n(n-2)
(n-1)2
2×4
32

f(n)
f(1)
=
n(n-1)(n-2)…2
(n+1)n…3
(n+2)(n+1)…4
(n+1)n…3
=
2
n+1
n+2
3
,
∴f(n)=
n+2
2(n+1)
(n>1),又f(1)=
3
4
適合此式,
∴f(n)=
n+2
2(n+1)

(3)b n+1=2f(n)-1=
1
n+1
,
g(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n

∴g(2n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n

設(shè)∅(n)=f(2n)-
n
2
,
則∅(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
-
n
2

∅(n+1)-∅(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n+1
-
n+1
2
-(1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n
-
n
2

=
1
2n+1
+
1
2n+2
+…+
1
2n+1
-
1
2

1
2n+1
+
1
2n+2
+…+
1
2n+1
的項數(shù)為2n,
1
2n+1
+
1
2n+2
+…+
1
2n+1
1
2n+1
+
1
2n+1
+…+
1
2n+1
=
1
2n+1
×2n
=
1
2

∴∅(n+1)-∅(n)>0.即數(shù)列{∅(n)}是單調(diào)遞增數(shù)列.
其最小值為∅(1)=g(2)-
1
2
=1
∴∅(n)≥1即g(2n)-
n
2
≥1.
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(1)求數(shù)列{an}的通項公an
(2)若記bn=(2n+1)•(
1Sn
+2)
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求Tn

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