【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=AB=2,E為PC中點(diǎn).求二面角E﹣BD﹣P的余弦值.
【答案】解:以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線DA,DC,DP為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 則D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),
=(2,2,0), =(0,1,1).
設(shè)平面BDE的法向量為 =(x,y,z),
則 ,令z=1,得y=﹣1,x=1.∴平面BDE的一個(gè)法向量為 =(1,﹣1,1).
又∵C(0,2,0),A(2,0,0), =(﹣2,2,0),且AC⊥平面PDB,
∴平面PDB的一個(gè)法向量為 =(1,﹣1,0).
設(shè)二面角E﹣BD﹣P的平面角為α,
則cosα= = = .
∴二面角E﹣BD﹣P的余弦值為 .
【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線DA,DC,DP為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由此能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】ABCD為空間四邊形,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N分別是對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn),則MN與( )
A.AC,BD之一垂直
B.AC,BD都垂直
C.AC,BD都不垂直
D.AC,BD不一定垂直
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(Ⅰ)求平行于直線x﹣2y+1=0,且與它的距離為2 的直線方程; (Ⅱ)求經(jīng)過兩直線l1:x﹣2y+4=0和l2:x+y﹣2=0的交點(diǎn)P,且與直線l3:2x+3y+1=0垂直的直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}中,a1=64,公比q≠1,a2 , a3 , a4又分別是某個(gè)等差數(shù)列的第7項(xiàng),第3項(xiàng),第1項(xiàng).
(1)求an;
(2)設(shè)bn=log2an , 求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為 ,短軸長為4 . (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)直線x=2與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),A、B是橢圓O上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且直線AB的斜率為 .
①求四邊形APBQ面積的最大值;
②設(shè)直線PA的斜率為k1 , 直線PB的斜率為k2 , 判斷k1+k2的值是否為常數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且滿足(2b﹣a)cosC=ccosA. (Ⅰ)求角C的大。
(Ⅱ)設(shè)y=﹣4 sin2 +2sin(C﹣B),求y的最大值并判斷當(dāng)y取得最大值時(shí)△ABC的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 =(2cosx,sinx﹣cosx), =( sinx,sinx+cosx),記函數(shù)f(x)= . (Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式,以及f(x)取最大值時(shí)x的取值集合;
(Ⅱ)設(shè)△ABC三內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c,若a+b=2 ,c= ,f(C)=2,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中,a1=2,a2=4,且a2n﹣1 , a2n , a2n+1成等差數(shù)列,a2n , a2n+1 , a2n+2成等比數(shù)列,n=1,2,3,…. (Ⅰ)(ⅰ)求證:數(shù)列 為等差數(shù)列;
(ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn , 證明:Sn> ,n∈N* .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,設(shè)向量 =(a,c), =(cosC,cosA).
(1)若 ∥ ,a= c,求角A;
(2)若 =3bsinB,cosA= ,求cosC的值.
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