已知定義域?yàn)镽(實(shí)數(shù)集)的函數(shù),f(x)中,f(0)=1
且當(dāng)n-1≤x<n(n∈Z)時(shí),f(x)=(x-n)•f(n-1)+f(n)
(Ⅰ)求f(2)的值及當(dāng)x∈[3,4)時(shí),f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并說明理由;
(Ⅲ)“定義:設(shè)g(x)為定義在D上的函數(shù),若存在正數(shù)M,對任意x∈D都有|g(x)|≤M,則稱函數(shù)g(x)為D上有界函數(shù);否則,稱函數(shù)g(x)為D上無界函數(shù).”試證明f(x)為R上無界函數(shù).
分析:(Ⅰ)令x=0,求出f(1)的值,進(jìn)而得出f(2)的值;令x=n,得出2f(n)=f(n+1),進(jìn)而求出當(dāng)n∈N+時(shí),f(n)=2n,當(dāng)n∈N-時(shí),f(n)=2n,即可求出f(x)的表達(dá)式.
(Ⅱ)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)x1<x2,①若n-1≤x1<x2<n,則f(x1)-f(x2)=2n-1(x1-x2)<0;若n1-1則x1<n1n-1<x2<n,f(x2)≥f(n1f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)<f(n1)≤f(x2),即可得出結(jié)果.
(Ⅲ)對任意M>0,取M0>M,且log2M0∈Z,記x0=log2M0,則:f(x0)=2log2M0=M0>M,即可得出結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)由題意得f(0)=(0-1)f(0)+f(1),
∵f(0)=1∴f(1)=2
同理得:∴f(2)=4(2分)
又對任意n∈Z,f(n)=(n-n-1)f(n)+f(n+1)
即  2f(n)=f(n+1)(4分)
當(dāng)n∈N+時(shí),f(n)=2f(n-1)=22f(n-2)=…=2nf(0)=2n
當(dāng)n∈N-時(shí),f(0)=2f(-1)=22f(-2)=…=2-nf(n),
即  f(n)=2n.    (7分)
綜上可得:f(n)=2n(n∈Z)
當(dāng)x∈[3,4)時(shí),f(x)=f(3)(x-4)+f(4)=8x-16(8分)
(Ⅱ)f(x)是定義域上的增函數(shù).
任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)x1<x2
①若n-1≤x1<x2<n,則f(x1)-f(x2)=f(n-1)(x1-n)+f(n)-f(n-1)(x2-n)-f(n)
=f(n-1)(x1-x2)=2n-1(x1-x2)<0(12分)
②若n1-1則x1<n1n-1<x2<n,
依①可得  f(x2)…f(n-1)
事實(shí)上  f(n-1)=2n-1,f(n1)=2n1,∵n1,n-1
∴f(n1),f(n-1)∴f(x2)≥f(n1f(x1)=f(n1-1)(x1-n1)+f(n1)=2n1-1(x1-n1)+f(n1)<f(n1)≤f(x2)
綜上所述:f(x1)<f(x2)(16分)
所以,f(x)是定義域上的增函數(shù).
(Ⅲ)對任意M>0,取M0>M,且log2M0∈Z,
記x0=log2M0
則:f(x0)=f(log2M0)=2log2M0=M0>M
所以  f(x)為R上無界函數(shù).      (20分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明以及函數(shù)的恒成立問題,此題的難度較大,要認(rèn)真審題,仔細(xì)作答.
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x3
-2x

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(Ⅰ)求f(2)的值及當(dāng)x∈[3,4)時(shí),f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并說明理由;
(Ⅲ)“定義:設(shè)g(x)為定義在D上的函數(shù),若存在正數(shù)M,對任意x∈D都有|g(x)|≤M,則稱函數(shù)g(x)為D上有界函數(shù);否則,稱函數(shù)g(x)為D上無界函數(shù).”試證明f(x)為R上無界函數(shù).

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